Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}a_{1}\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0\,,$

wobei die ${}\chi _{i}$ verschiedene Charaktere seien und alle ${}a_{i}\in K$ von ${}0$ verschieden seien. Darüber hinaus sei ${}n$ minimal gewählt mit dieser Eigenschaft. Wegen ${}\chi (e_{G})=1$ ist ein einzelner Charakter nicht die Nullabbildung, also linear unabhängig und somit ist zumindest ${}n\geq 2$. Wegen ${}\chi _{1}\neq \chi _{2}$ gibt es auch ein ${}g\in G$ mit

${}\chi _{1}(g)\neq \chi _{2}(g)$. Wir behaupten die Gleichheit (wieder von Abbildungen von ${}G$ nach ${}K$)

${}a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}=0\,.$

Für ein beliebiges ${}h\in G$ ist nämlich

${}{\begin{aligned}(a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n})(h)&=a_{1}\chi _{1}(g)\chi _{1}(h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g)\chi _{n}(h)\\&=a_{1}\chi _{1}(g\cdot h)+\cdots +a_{n}\chi _{n}(g\cdot h)\\&=0\end{aligned}}$

wegen der Ausgangsgleichung. Wenn man vom ${}\chi _{1}(g)$-fachen der Ausgangsgleichung die zweite Gleichung abzieht, so kann man ${}\chi _{1}$ elimineren und erhält eine nichttriviale (wegen ${}a_{2}\neq 0$ und der Wahl von ${}g$) lineare Relation zwischen ${}\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$ im Widerspruch zur Minimalitätseigenschaft von ${}n$.

Zur bewiesenen Aussage