Charakteristisches Polynom/Eigenwerte/Rationale Funktionen/Aufgabe/Lösung

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  1. Es ist
  2. Wir führen quadratische Ergänzung durch und schreiben dieses Polynom als
    Für das Polynom gilt:
    Daraus lassen sich direkt die 4 Nullstellen ablesen. Also besteht die Linearfaktorzerlegung von aus 4 unterschiedlichen Linearfaktoren.
    Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes Polynom in eine komplexe Linearfaktorzerlegung.
    Wir behaupten, dass keine Quadratwurzel in (und damit auch in ) besitzt. Wenn es nämlich eine rationale Funktion mit

    geben würde, so wäre

    doch dann würde die komplexe Linearfaktorzerlegung von eine ungerade Anzahl von einem der Linearfaktoren von enthalten, die komplexe Linearfaktorzerlegung von jedoch enthält jeden Faktor in gerader Anzahl, was einen Widerspruch ergibt.
    Somit besitzt das charakteristische Polynom keine Nullstelle und daher hat die Matrix keinen Eigenwert.