Charakteristisches Polynom/Eigenwerte/Rationale Funktionen/Aufgabe/Lösung

Es ist
${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\det {\begin{pmatrix}X-T&-(T-1)\\-(T+1)&X-{\frac {1}{T}}\end{pmatrix}}\\&=(X-T){\left(X-{\frac {1}{T}}\right)}-(T+1)(T-1)\\&=X^{2}-{\left(T+{\frac {1}{T}}\right)}X+1-T^{2}+1\\&=X^{2}-{\frac {T^{2}+1}{T}}X-T^{2}+2.\end{aligned}}$
Wir führen quadratische Ergänzung durch und schreiben dieses Polynom als
${}{\begin{aligned}X^{2}-{\frac {T^{2}+1}{T}}X-T^{2}+2&={\left(X-{\frac {T^{2}+1}{2T}}\right)}^{2}-{\left({\frac {T^{2}+1}{2T}}\right)}^{2}-T^{2}+2\\&={\left(X-{\frac {T^{2}+1}{2T}}\right)}^{2}-{\frac {T^{4}+2T^{2}+1}{4T^{2}}}-T^{2}+2\\&={\left(X-{\frac {T^{2}+1}{2T}}\right)}^{2}+{\frac {-T^{4}-2T^{2}-1-4T^{4}+8T^{2}}{4T^{2}}}\\&={\left(X-{\frac {T^{2}+1}{2T}}\right)}^{2}+{\frac {-5T^{4}+6T^{2}-1}{4T^{2}}}\\&={\left(X-{\frac {T^{2}+1}{2T}}\right)}^{2}-{\frac {5T^{4}-6T^{2}+1}{4T^{2}}}.\end{aligned}}$
Für das Polynom ${}A:=5T^{4}-6T^{2}+1$ gilt:
${}{\begin{aligned}A&=5T^{4}-6T^{2}+1\\&=5\left(T^{4}-{\frac {6}{5}}T^{2}+{\frac {1}{5}}\right)\\&=5\left(\left(T^{2}-{\frac {3}{5}}\right)^{2}-{\frac {9}{25}}+{\frac {1}{5}}\right)\\&=5\left(\left(T^{2}-{\frac {3}{5}}\right)^{2}-{\frac {4}{25}}\right)\\&=5\left(\left(T^{2}-{\frac {3}{5}}\right)^{2}-\left({\frac {2}{5}}\right)^{2}\right).\end{aligned}}$
Daraus lassen sich direkt die 4 Nullstellen ${}-1,1,-{\frac {1}{\sqrt {5}}},{\frac {1}{\sqrt {5}}}$ ablesen. Also besteht die Linearfaktorzerlegung von ${}A$ aus 4 unterschiedlichen Linearfaktoren.
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes Polynom in ${}\mathbb {R} (T)$ eine komplexe Linearfaktorzerlegung.
Wir behaupten, dass ${}5T^{4}-6T^{2}+1$ keine Quadratwurzel in ${}{\mathbb {C} }(T)$ (und damit auch in ${}\mathbb {R} (T)$ ) besitzt. Wenn es nämlich eine rationale Funktion ${}P/Q$ mit
${}A={\frac {P^{2}}{Q^{2}}}\,$

geben würde, so wäre

${}AQ^{2}=P^{2}\,,$

doch dann würde die komplexe Linearfaktorzerlegung von ${}AQ^{2}$ eine ungerade Anzahl von einem der Linearfaktoren von ${}A$ enthalten, die komplexe Linearfaktorzerlegung von ${}P$ jedoch enthält jeden Faktor in gerader Anzahl, was einen Widerspruch ergibt.
Somit besitzt das charakteristische Polynom keine Nullstelle und daher hat die Matrix keinen Eigenwert.

Zur gelösten Aufgabe