Chevalley-Warning/2 Quadriken/5 Variablen/Beispiel

Wir betrachten die beiden homogenen Polynome vom Grad ${}2$

$X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+U^{2}+V^{2}$

und

$X^{2}+YZ+UV.$

Man kann hier ${}X^{2}$ eliminieren und erhält eine Gleichung vom Grad ${}2$ in vier Variablen, worauf man auch Fakt bzw. Fakt anwenden kann. Dies führt zu einer nichttrivialen Lösung ${}(y,z,u,v)$ von

${}Y^{2}+Z^{2}+U^{2}+V^{2}=YZ+UV\,,$

allerdings besagt Fakt zusätzlich, dass es auch eine nichttriviale Lösung ${}(y,z,u,v)$ gibt, bei der man aus ${}-(y^{2}+z^{2}+u^{2}+v^{2})$ die Quadtratwurzel ziehen kann.

Es sei beispielsweise ${}K=\mathbb {Z} /(3)$. Da ist ${}(1,1,-1,0,0)$ eine nichttriviale Lösung.