Chevalley-Warning/Fermatquadrik/Beispiel

Wir betrachten die Gleichung

${}X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=0\,$

über den endlichen Körpern ${}\mathbb {Z} /(p)$, nach Fakt gibt es nichttriviale Lösungen.

Bei ${}p=2$ sind ${}(0,1,1),\,(1,0,1),\,(1,1,0)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${}{\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{3}$ vier Lösungen)

Bei ${}p=3$ sind ${}(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${}{\left(\mathbb {Z} /(3)\right)}^{3}$ neun Lösungen).

Bei ${}p=5$ sind die Permutationen von ${}(0,\pm 1,\pm 2)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${}{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{3}$ genau ${}25$ Lösungen).

Bei ${}p=7$ sind die Permutationen von ${}(\pm 1,\pm 2,\pm 3)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${}{\left(\mathbb {Z} /(7)\right)}^{3}$ genau ${}49$ Lösungen).

Bei ${}p=11$ sind ${}0,1,3,4,5,9$ die Quadrate. Die Summe von zwei Quadraten ergibt nie ${}0$. Es ist ${}1+1+9=11$ und ${}1+5+5=11$ und ${}3+3+5=11$ und ${}3+4+4=11$ und ${}4+9+9=22$ Somit sind die Permutationen von ${}(\pm 1,\pm 1,\pm 3)$, von ${}(\pm 1,\pm 4,\pm 4)$, von ${}(\pm 5,\pm 5,\pm 3)$ von ${}(\pm 5,\pm 2,\pm 2)$ und von ${}(\pm 2,\pm 3,\pm 3)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${}{\left(\mathbb {Z} /(11)\right)}^{3}$ genau ${}5\cdot 3\cdot 8+1=121$ Lösungen).