Chevalley-Warning/Kubische Kurve über Z mod 2/Keine Lösung/Beispiel

Wir betrachten das homogene Polynom

$X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+XY^{2}+YZ^{2}+ZX^{2}+XYZ$

vom Grad ${}3$ in drei Variablen über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(2)$, hier ist also Fakt nicht anwendbar. In der Tat besitzt dieses Polynom außer in ${}(0,0,0)$ keine Nullstelle. Das Polynom ist symmetrisch in den Variablen, was die Überprüfung erleichtert. Sei ${}(x,y,z)\in {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{3}$. Bei ${}x=y=0$ ist ${}z^{3}=0$ und damit ${}z=0$, das ist der Ursprungspunkt. Bei ${}x=0$ und ${}y=z=1$ verbleiben drei Terme und der Wert des Polynoms ist ${}1$. Bei ${}x=y=z$ gibt es sieben Terme, der Wert des Polynoms ist also wieder ${}1$.