Chevalley-Warning/X^2+Y^2/3 Variablen/Beispiel

Wir betrachten die Gleichung

${}X^{2}+Y^{2}=0\,$

über den endlichen Körpern ${}\mathbb {Z} /(p)$. Wenn man diese Gleichung in zwei Variablen auffasst, was naheliegend ist, so kann man Fakt nicht anwenden, beispielsweise gibt es bei ${}p=3$ nur die triviale Lösung ${}(0,0)$. Man kann die Gleichung aber auch in den drei Variablen ${}X,Y,Z$ auffassen und dann die Aussage anwenden. Es gibt dann, nach wie vor bei ${}p=3$, die drei Lösungen ${}(0,0,z)$ mit ${}z\in \mathbb {Z} /(3)$.

Bei ${}p=5$ gibt es in zwei Variablen die Lösungen ${}(0,0)$ und die Permutationen von ${}(\pm 1,\pm 2)$, was insgesamt neun Lösungen sind. In drei Variablen gibt es somit ${}45$ Lösungen.