Chinesischer Restsatz/Einheiten/Fakt

Sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ (die ${}p_{i}$ seien also verschieden und $r_{i}\geq 1$).

Dann gibt es einen kanonischen Gruppenisomorphismus

${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }\cong {\left(\mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\right)}^{\times }\times \cdots \times {\left(\mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\right)}^{\times }\,.$

Insbesondere ist eine Zahl ${}a$ genau dann eine Einheit modulo ${}n$, wenn sie eine Einheit modulo ${}p_{i}^{r_{i}}$ ist für ${}i=1,\ldots ,k$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen