Chromatisches Polynom/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1) ist klar. (2). Die rechte Abschätzung ist klar, da rechts die Anzahl der Färbungen mit Farben überhaupt ohne Zulässigkeitsbedingung steht. Die linke Seite ist klar für . Für . ist die Zahl links nach Fakt die Anzahl der injektiven Abbildungen von nach , und diese sind stets zulässig. (3). Eine zulässige Färbung mit (höchstens) Farben ist eine zulässige Färbung mit genau Farben für ein . Es sei die Anzahl der zulässigen Färbungen mit genau Farben. Dann ist die Anzahl der zulässigen Färbungen mit Farben unter Verwendung von Fakt gleich