Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt  (3) hat die Funktion für ${}k\geq n+1$ die Form

${}P_{G}\left(k\right)=\sum _{j=0}^{n}R_{j}P_{G}\left(j\right)\,$

mit

${}R_{j}=\sum _{\ell =j}^{n}(-1)^{\ell -j}{\binom {k}{\ell }}{\binom {\ell }{j}}\,.$

Diese Ausdrücke sind Polynome in ${}k$ vom Grad ${}\leq n$, wobei der Grad ${}n$ nur für ${}\ell =n$ vorkommt. Jedenfalls ist ${}P_{G}\left(k\right)$ ein Polynom vom Grad ${}\leq n$. Nach Fakt  (2) ist der Limes von ${}{\frac {P_{G}\left(k\right)}{k^{n}}}$ für ${}k\rightarrow \infty$ gleich ${}1$, also muss der Leitkoeffizient des Polynoms gleich ${}1$ sein.

Zur bewiesenen Aussage