Dachprodukt/Mannigfaltigkeiten/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe

Formuliere die folgenden Sätze bzw. Formeln.

1. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis des Vektorraumes ${}V$. Wie sieht eine Basis des ${}k$-ten Dachproduktes ${}\bigwedge ^{k}V$ aus?
2. Die universelle Eigenschaft des ${}k$-ten Dachproduktes eines Vektorraums ${}V$.
3. Die Formel für die zurückgezogene Volumenform ${}\varphi ^{*}\omega$ zu ${}\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ unter einer stetig differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

4. Die Berechnung des kanonischen Volumens einer messbaren Menge ${}T\subseteq M$ einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$, die ganz in einem offenen Kartengebiet ${}T\subseteq U$ liegt.

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