Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen

Einführung

Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert.

Intervallbestimmung

Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 $\pi$ 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n].

Umdrehungen des Mondes um die Erde

Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde.

Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 1

Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: $f(x)={\begin{pmatrix}10\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\\10\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)\\0\end{pmatrix}}$

Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion $g(x)={\begin{pmatrix}0\\cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\6\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix}}$ zu $f(x)$

Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 2

$g(x)+f(x)={\begin{pmatrix}10\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\\cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+10\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)\\6\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix}}$

Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 3

Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn $t(x)={\begin{pmatrix}5\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)\\5\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)\\0\end{pmatrix}}$, hierzu addiert man die Funktion $h(x)={\begin{pmatrix}5\cdot cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\5\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\0\end{pmatrix}}$, welche die Rotation um die Erde beschreibt.

Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 4

$h(x)+t(x)={\begin{pmatrix}5\cdot cos(2\cdot \pi \cdot x)+5\cdot cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\5\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)+5\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\0\end{pmatrix}}$

Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen 5

Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man $f(x),g(x),t(x),h(x)$ addieren.

$f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)={\begin{pmatrix}15\cdot cos(x)+5\cdot cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\15\cdot sin(2\cdot \pi \cdot x)+5\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)+cos(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\\6\cdot sin(13,4\cdot 2\cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix}}$

Anhang