Der Bloch-Vektor

Der Bloch-Vektor

liefert eine geometrische Darstellung der Zustände eines zwei-Niveau-Systems (Atom, Molekül, Spin, qBit). Gemeinschaftsarbeit von Studierenden der Universität Potsdam.

Geometrie der Blochsphäre mit einem arbiträren Quantenzustand $|\psi \rangle$ als Superposition der Basiszustände $\left|\uparrow \right\rangle$ und $\left|\downarrow \right\rangle$

Mit den Bloch Vektoren lassen sich Zweiniveaussysteme mit den hier bezeichneten Basiszuständen $\left|\uparrow \right\rangle$ und $\left|\downarrow \right\rangle$ beschreiben. Üblicherweise wählt man die Darstellung der Bloch-Sphäre so, dass obwohl $\left|\uparrow \right\rangle$ und $\left|\downarrow \right\rangle$ senkrecht zueinander stehen, diese in die jeweilig entgegengesetzte Richtungen zeigen. Man nennt diese Darstellung daher auch nicht winkeltreu, weil der „rechte Winkel” im klassischen Sinne zwischen den beiden Repräsentanten hier nicht wiederzuerkennen ist. Dafür kann man allerdings in der dreidimensionalen Darstellung der Bloch-Sphäre auch jede komplexe Linearkombination der beiden Basisvektoren darstellen. Man kann zum Beispiel definieren:

${\begin{aligned}\left|\rightarrow \right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|\uparrow \right\rangle +\left|\downarrow \right\rangle \right)\\\left|\leftarrow \right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|\uparrow \right\rangle -\left|\downarrow \right\rangle \right)\end{aligned}}$

dabei kann $\left|\leftarrow \right\rangle$ gelesen werden als der „nach links” zeigende Vektor und $\left|\rightarrow \right\rangle$ der „nach rechts” zeigende Vektor. Analog vereinbart man für $\left|\odot \right\rangle$ („nach vorn”) und $\left|\times \right\rangle$ („nach hinten”):

${\begin{aligned}\left|\odot \right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|\uparrow \right\rangle +\mathrm {i} \left|\downarrow \right\rangle \right)\\\left|\times \right\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|\uparrow \right\rangle -\mathrm {i} \left|\downarrow \right\rangle \right)\end{aligned}}$

Es wird im allgemeinen Fall also die komplexe Linearkombination von

$\left|\psi \right\rangle =\alpha \left|\uparrow \right\rangle +\beta \left|\downarrow \right\rangle$

deutlich. Durch die Kugelsymmetrie bieten sich hier Kugelkoordinaten bestens an, weshalb wir den allgemeinen Blochvektor $\left|\psi \right\rangle$ auch mithilfe der beiden Winkel $\theta$ und $\varphi$ ausdrücken können

$\left|\theta ,\varphi \right\rangle =\cos {\frac {\theta }{2}}\mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \varphi }{2}}}\left|\uparrow \right\rangle +\sin {\frac {\theta }{2}}\mathrm {e} ^{+{\frac {\mathrm {i} \varphi }{2}}}\left|\downarrow \right\rangle$

Es stellt sich nun die Frage, wie es sich mit den Freiheitsgraden in beiden Darstellungen verhält. Auch wenn man zunächst meinen könnte, dass wir durch die Darstellung in Kugelkoordinaten zwei Freiheitsgrade eingebüßt haben (von 2 + 2 auf 1 + 1), so ist dies nicht der Fall.

In der Tat haben wir am Anfang schon blind angenommen, dass

• das Betragsquadrat jeder komplexen Linearkombination gleich 1 ist, sowie
• die globale Phase irrelevant ist. Daher erhalten wir, auch wenn wir zunächst völlig frei wählbare komplexe Parameter $\alpha =\alpha _{x}+\mathrm {i} \alpha _{y}$ und $\beta =\beta _{x}+\mathrm {i} \beta _{y}$ nutzen, durch die genannten Bedingungen dennoch nur 2 Freiheitsgrade.

Angenommen man möchte nun die drei Komponenten des Blochvektors explizit berechnen, so hängen dessen Komponenten zum einen ganz klassisch mit der Transformation der Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten und zum anderen mit den Pauli-Matrizen in folgender Weise zusammen.

${\begin{aligned}s_{1}&=\sin \theta \cos \varphi =\left\langle \psi \right|\sigma _{1}\left|\psi \right\rangle \\s_{2}&=\sin \theta \sin \varphi =\left\langle \psi \right|\sigma _{2}\left|\psi \right\rangle \\s_{3}&=\cos \theta =\left\langle \psi \right|\sigma _{3}\left|\psi \right\rangle \end{aligned}}$

Geht es nun insbesondere um die Interpretation der dritten, vertikalen Komponente $s_{3}$, so kann man diese über die Relation

$s_{3}=\left\langle \left(c_{\text{e}}^{*},c_{\text{g}}^{*}\right)\right|{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\left|\left(c_{\text{e}},c_{\text{g}}\right)\right\rangle =\left|c_{\text{e}}\right|^{2}-\left|c_{\text{g}}\right|^{2}$

als eine Art Inversion auffassen. Wenn $s_{3}$ zum Beispiel positiv ist, so bedeutet das eine Besetzungsinversion, in der der angeregte Zustand stärker populiert ist als der Grundzustand. Am Beispiel der Boltzmannstatistik kann man daher nachvollziehen, weshalb vor allem bei Systemen im thermodynamischen Gleichgewicht die $s_{3}$ Komponente stets negativ sein muss. Mit dem Boltzmann'schen Gewichtungsfaktor $\mathrm {e} ^{-\beta \Delta E}$ gilt daher für die Besetzungswahrscheinlichkeiten

$p_{\text{e}}=p_{\text{g}}\mathrm {e} ^{-\beta \hbar \omega _{\text{A}}}$

Es bezeichnet $\omega _{\text{A}}$ dabei die Atomfrequenz - also die Schwingfrequenz zwischen den zwei beteiligten Energieniveaus und $\beta$ die inverse Temperatur $\beta =1/k_{\text{B}}T$

Konventionen

Formelsammlung für ein zwei-Niveau-System mit den Zuständen $|e\rangle$ (“Spin rauf”) und $|g\rangle$ (“Spin runter”). Die folgenden Konventionen sind “natürlich”, werden aber nicht von allen Autorinnen und Autoren verwendet.

• komplexe Amplituden sind die Vorfaktoren vor dem Phasenfaktor ${\rm {e}}^{-{\rm {i}}\omega t}$. So entsteht etwa die komplexe Rabi-Frequenz aus dem elektrischen Feld: ${\tfrac {1}{2}}\hbar \Omega =-{\bf {d}}_{ge}^{*}\cdot {\vec {\cal {E}}}_{L}.$

• in der Abbildung von Kets (Operatoren) auf komplexe Vektoren (Matrizen) steht die Amplitude $c_{e}$ im Spaltenvektor “oben”: $c_{e}|e\rangle \mapsto {\begin{pmatrix}c_{e}\\0\end{pmatrix}}.$

• die Komponenten des Blochvektors $\mathbf {s}$ sind die Erwartungswerte der Pauli-Matrizen: $s_{i}=\langle \sigma _{i}\rangle .$

Gesuchte Formeln

siehe Diskussion