Determinante/Diagonale Blockmatrix/Keine Kreuzformel/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Matrix

${\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&1&1&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$

mit den ${}2\times 2$-Untermatrizen ${}A,B,C,D$ wie in der Aufgabenstellung. Dann ist

${}{\begin{aligned}\det A\cdot \det D-\det B\cdot \det C&=\det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-\det {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot \det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\\&=1\cdot 1-1\cdot 1\\&=0.\end{aligned}}$

Um die wahre Determinante auszurechnen, führen wir Zeilenoperationen durch. Wir ersetzen die dritte Zeile durch ${}III-I$ und die vierte Zeile durch ${}IV-II$ und erhalten

${\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&-1&1\end{pmatrix}}.$

Wir addieren zur vierten Zeile die dritte Zeile hinzu und erhalten die obere Dreiecksmatrix

${\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&2\end{pmatrix}},$

bei der alle Diagonaleinträge von ${}0$ verschieden sind. Daher ist diese Matrix und damit auch die Ausgangsmatrix invertierbar und die Determinante ist nach Fakt

nicht ${}0$.

Zur gelösten Aufgabe