Determinante/Ganzzahlig/Induktion/Aufgabe/Lösung

1. Die Aussage ist offenbar richtig für ${}n=1$. Zum Induktionsschluss ziehen wir die induktive Definition der Determinante heran, es ist

   ${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}\,.$

   Nach Induktionsvoraussetzung sind die ${}\det M_{i}$ ganzzahlig, nach Voraussetzung sind die ${}a_{i1}$ ganzzahlig, und damit ist auch diese Summe ganzzahlig.

2. Es ist

   ${}\det {\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}=1-4=-3\,.$

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