Determinante/Rekursiv/Beziehung zur Leibnizformel/Bemerkung

Die Determinante kann auch auf eine andere Art eingeführt werden, nämlich über die sogenannte Leibniz-Formel. Diese lautet für eine $n\times n$-Matrix  $M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ 

$detM=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}.$

Dabei wird über alle bijektiven Abbildungen (man spricht in diesem Zusammenhang von Permutationen) von $\{1,\dots ,n\}$ auf sich summiert. Zu einer Permutation $\sigma$ ist das Signum (oder das Vorzeichen) $\mathrm{sgn}(\sigma )\in \{1,-1\}$ durch

$\mathrm{sgn}(\sigma )=\prod _{i<j}\frac{\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}$

definiert.