Determinantenmultiplikationssatz/Elementarmatrizen/Aufgabe/Lösung

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  1. Wir gehen die verschiedenen Elementarmatrizen durch. Wenn eine Vertauschungsmatrix ist, so ist ihre Determinante gleich und entsteht aus , indem die -te und die -te Zeile vertauscht werden. Das ändert die Determinante um das Vorzeichen. Wenn eine Skalierungsmatrix zum Faktor ist, so ist ihre Determinante gleich und entsteht aus , indem die -te mit multipliziert. Das ändert die Determinante um den Faktor . Wenn eine Additionsmatrix ist, so ist ihre Determinante gleich und entsteht aus , indem das -fache der -ten Zeile zur -ten Zeile hinzuaddiert wird. Das ändert die Determinante nicht.
  2. Sei

    ein Produkt von Elementarmatrizen. Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach , wobei sich der Induktionsanfang zu aus Teil (1) ergibt. Sei die Aussage für ein Produkt aus Elementarmatrizen schon bewiesen. Dann ist nach Teil (1) und der Induktionsvoraussetzung

    wobei sich die letzte Gleichung aus dem Spezialfall zu ergibt.

  3. Es sei zunächst . Dann ist nach Fakt die Matrix nicht invertierbar und damit ist auch nicht invertierbar und somit wiederum . Sei nun invertierbar. Dann gibt es eine Zerlegung

    in Elementarmatrizen, und die Aussage folgt aus Teil (2).

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