Dezimalbrüche/Ring/Fakt/Beweis

Beweis

Die Brüche seien

${}x=a\cdot 10^{k}\,$

und

${}y=b\cdot 10^{\ell }\,$

mit ${}a,b\in \mathbb {Z}$ und mit ${}k,\ell \in \mathbb {Z}$. Wegen der Symmetrie können wir ${}k\geq \ell$ annehmen. Dann ist

${}a\cdot 10^{k}+b\cdot 10^{\ell }=a\cdot 10^{k-\ell }\cdot 10^{\ell }+b\cdot 10^{\ell }={\left(a\cdot 10^{k-\ell }+b\right)}\cdot 10^{\ell }\,$

wieder von der gleichen Bauart, also ein Dezimalbruch. Für das Produkt ist

${}a\cdot 10^{k}\cdot b\cdot 10^{\ell }=a\cdot b\cdot 10^{k+\ell }\,.$

Die anderen Behauptungen sind ebenfalls klar.

Zur bewiesenen Aussage