Dezimalbruch/Fünftelung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$z=\sum _{i=k}^{\ell }{a}_{i}10^i$

gegeben und es sei  $a_i=5b_i+r_i$  mit $b_i\in \mathbb{N}$ und $r_i$ zwischen $0$ und $4$ und

$c_i=b_i+2r_{i+1}.$

Da $a_i\le 9$ ist, ist diese Zahl eine erlaubte Ziffer. Zum Nachweis der Korrektheit müssen wir einfach das Ergebnis $\sum _{i=k-1}^{\ell }{c}_{i}10^i$ mit $5$ multiplizieren und zeigen, dass man so $z$ zurückerhält. Es ist

$\begin{array}{cc}5\cdot \left(\sum _{i=k-1}^{\ell }{c}_{i}10^i\right)& =\sum _{i=k-1}^{\ell }5\cdot c_{i}10^i\\ & =\sum _{i=k-1}^{\ell }5\cdot (b_i+2r_{i+1})10^i\\ & =\sum _{i=k-1}^{\ell }(5b_i+10r_{i+1})10^i\\ & =\sum _{i=k-1}^{\ell }5b_{i}10^i+\sum _{i=k-1}^{\ell }10r_{i+1}10^i\\ & =\sum _{i=k-1}^{\ell }(a_i-r_i)10^i+\sum _{i=k-1}^{\ell }{r}_{i+1}10^{i+1}\\ & =\sum _{i=k-1}^{\ell }{a}_{i}10^i-\sum _{i=k-1}^{\ell }{r}_{i}10^i+\sum _{i=k-1}^{\ell }{r}_{i+1}10^{i+1}\\ & =z-\sum _{i=k-1}^{\ell }{r}_{i}10^i+\sum _{j=k}^{\ell +1}{r}_{j}10^j\\ & =z,\end{array}$

wobei sich die beiden Summanden rechts wegheben, da $r_{k-1}$ und $r_{\ell +1}$ gleich $0$ sind.

Zur bewiesenen Aussage