Dezimalbruch/Primfaktorzerlegung des Nenners/Aufgabe/Lösung

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Wenn die rationale Zahl die Form besitzt, so kann man mit erweitern und erhält im Nenner , so dass ein Dezimalbruch vorliegt. Es sei nun die rationale Zahl

in gekürzter Darstellung gegeben, und sei vorausgesetzt, dass in der Primfaktorzerlegung von eine Primzahl

vorkommt. Wir schreiben

Nehmen wir an, dass die Zahl ein Dezimalbruch ist, dann gibt es eine Gleichung der Form

Dies bedeutet nach dem Überkreuzprinzip, dass

ist. Wegen der Teilerfremdheit ist kein Teiler von , müsste also wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in vorkommen, was aber nicht der Fall ist. Dies ist ein Widerspruch.
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