Beweis
Wegen der definierenden Eigenschaft für eine Dezimalbruchfolge
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![{\displaystyle {}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c8b09eb386c06cf4fdcb7bbb644b0f54eb979c)
ist
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![{\displaystyle {}x_{n+1}<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b78024a8e401e3062cc50e89a376b806787d29e)
bzw.
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![{\displaystyle {}x_{n+1}-x_{n}<{\frac {1}{10^{n}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c70fcb3ab0431c5847ea1f37b527cc6c534938cf)
Somit gilt für
die Abschätzung
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}x_{m}-x_{n}&={\left(x_{m+1}-x_{m}\right)}+{\left(x_{m}-x_{m-1}\right)}+\cdots +{\left(x_{n+2}-x_{n+1}\right)}+{\left(x_{n+1}-x_{n}\right)}\\&\leq {\frac {1}{10^{m}}}+{\frac {1}{10^{m-1}}}+\cdots +{\frac {1}{10^{n+1}}}+{\frac {1}{10^{n}}}\\&={\left({\frac {1}{10^{m-n}}}+{\frac {1}{10^{m-n-1}}}+\cdots +{\frac {1}{10}}+1\right)}{\frac {1}{10^{n}}}\\&\leq 2\cdot {\frac {1}{10^{n}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eab50aa79d65dfc7f5341bd3269e0904f3409e7)
wobei wir im letzten Schritt die endliche geometrische Reihe benutzt haben. Dieser Ausdruck wird in einem archimedisch angeordneten Körper beliebig klein.