Dezimalbruchfolge/Cauchy-Folge/Fakt/Beweis2

Beweis

Wegen der definierenden Eigenschaft für eine Dezimalbruchfolge

{}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,

ist für ${}m>n$ auch

{}{\begin{aligned}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}&\leq {\frac {a_{m}}{10^{m}}}\\&<{\frac {a_{m-1}+1}{10^{m-1}}}\\&<{\frac {a_{m-2}+1+{\frac {1}{10}}}{10^{m-2}}}\\&<\ldots \\&<{\frac {a_{n}+1+{\frac {1}{10}}+\cdots +{\frac {1}{10^{m-n-1}}}}{10^{n}}}\\&<{\frac {a_{n}+2}{10^{n}}},\end{aligned}}

wobei wir im letzten Schritt die endliche geometrische Reihe benutzt haben. Somit ist für ${}m>n\geq k$

{}x_{m}-x_{n}={\frac {a_{m}}{10^{m}}}-{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n}+2}{10^{n}}}-{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {2}{10^{n}}}\leq {\frac {2}{10^{k}}}\,.

Dieser Ausdruck wird in einem archimedisch angeordneten Körper beliebig klein.