Die projektive Ebene/Einführende Beschreibung/Beispiel

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Die Punkte in der projektiven Ebene entsprechen den Geraden durch den Nullpunkt im affinen Raum . Jeder Punkt der projektiven Ebene wird repräsentiert durch ein Tupel , wobei nicht alle gleichzeitig sein dürfen und wobei zwei Koordinatentupel identifiziert werden, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführt werden können. Die projektive Ebene wird überdeckt durch drei affine Ebenen, nämlich

Dabei besteht aus allen Punkten, wo die dritte Koordinate nicht ist. Durch Multiplikation mit kann man diese Punkte mit

identifizieren, so dass wirklich eine affine Ebene vorliegt. Das Komplement der affinen Ebene ist die Menge der Punkte, wo die dritte Komponente ist. Da man nach wie vor Punkte identifiziert, die durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführbar sind, ist eine projektive Gerade. Ein Punkt auf dieser Geraden und der Nullpunkt von definieren die Gerade durch den Nullpunkt mit dem Richtungsvektor (und der homogenen Geradengleichung bzw. ). Man kann sich also die projektive Ebene gut vorstellen als eine affine Ebene, in der jede Gerade durch den Nullpunkt noch einen zusätzlichen („unendlich fernen“) Punkt definiert.