Die projektive Ebene/Einführende Beschreibung/Beispiel

Die Punkte in der projektiven Ebene ${\mathbb{P}}_K^2$ entsprechen den Geraden durch den Nullpunkt im affinen Raum ${𝔸}_K^3$. Jeder Punkt der projektiven Ebene wird repräsentiert durch ein Tupel $(x,y,z)$, wobei nicht alle $x,y,z$ gleichzeitig $0$ sein dürfen und wobei zwei Koordinatentupel identifiziert werden, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar  $\lambda \ne 0$  ineinander überführt werden können. Die projektive Ebene wird überdeckt durch drei affine Ebenen, nämlich

$D_{+}(X),D_{+}(Y)\text{ und }{D}_{+}(Z).$

Dabei besteht $D_{+}(Z)$ aus allen Punkten, deren dritte Koordinate nicht $0$ ist. Durch Multiplikation mit $z^{-1}$ kann man diese Punkte mit

$(\frac{x}{z},\frac{y}{z},\frac{z}{z})=(u,v,1)$

identifizieren, sodass wirklich eine affine Ebene vorliegt. Das Komplement der affinen Ebene $D_{+}(Z)$ ist die Menge $V_{+}(Z)$ der Punkte, wo die dritte Komponente $0$ ist. Da man nach wie vor Punkte identifiziert, die durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander überführbar sind, ist $V_{+}(Z)$ eine projektive Gerade. Ein Punkt $(x,y,0)$ auf dieser Geraden und der Nullpunkt $(0,0,1)$ von $D_{+}(Z)$ definieren die Gerade durch den Nullpunkt mit dem Richtungsvektor $(x,y)$ (und der homogenen Geradengleichung $yX-xY=0$ bzw. $V_{+}(yX-xY)$). Man kann sich also die projektive Ebene gut vorstellen als eine affine Ebene, in der jede Gerade durch den Nullpunkt noch einen zusätzlichen („unendlich fernen“) Punkt definiert.