Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Definition/Begriff/Inhalt

Die Form ${}\omega$ besitzt auf ${}U$ eine Darstellung

$\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}$

mit stetig differenzierbaren Funktionen

$f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

Dann ist die äußere Ableitung die ${}(k+1)$-Form

${}d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,.$