Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster

${}\varphi ^{*}(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(P,e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}})$	${}\,=\,$ Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster/Grund 1	${}(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge T_{P}(\varphi )(e_{j_{k}}))$
	${}\,=\,$ Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster/Grund 2	${}f(\varphi (P))(dy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})({\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\end{pmatrix}}\wedge \ldots \wedge {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\end{pmatrix}})$
	${}\,=\,$ Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster/Grund 3	${}f(\varphi (P))\cdot \det \left((dy_{i}){\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\end{pmatrix}}\right)_{1\leq i,\ell \leq k}$
	${}\,=\,$ Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster/Grund 4	${}f(\varphi (P))\cdot \det \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\right)_{1\leq i,\ell \leq k}$