Differentialgleichung/Archimedische Spiralen als Lösungen/Ohne Phase/Spezielles Anfangswertproblem/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'(t)={\begin{pmatrix}at\cos t\\at\sin t\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a\cos t-at\sin t\\a\sin t+at\cos t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {at\cos t}{t}}-at\sin t\\{\frac {at\sin t}{t}}+at\cos t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x(t)}{t}}-y(t)\\{\frac {y(t)}{t}}+x(t)\end{pmatrix}}\,.$

b) Die Bedingung

${}v{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}={\begin{pmatrix}a{\frac {\pi }{2}}\cos {\frac {\pi }{2}}\\a{\frac {\pi }{2}}\sin {\frac {\pi }{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}\,$

führt wegen

${}\cos {\frac {\pi }{2}}=\sin {\frac {\pi }{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,$

auf

${}a={\frac {6{\sqrt {2}}}{\pi }}\,.$

Also ist

${}v(t)={\begin{pmatrix}{\frac {6{\sqrt {2}}}{\pi }}t\cos t\\{\frac {6{\sqrt {2}}}{\pi }}t\sin t\end{pmatrix}}\,$

die Lösung des Anfangswertproblems.

Zur gelösten Aufgabe