Differentialgleichung/Potenzreihenansatz/y' ist ty-2t^2+1/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz

${}y(t)=a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+\ldots \,,$

wegen der Anfangsbedingung ist ja direkt ${}a_{0}=0$. Die Ableitung ist

${}y'(t)=a_{1}+2a_{2}t+3a_{3}t^{2}+\ldots \,,$

das führt auf die Gleichung

${}a_{1}+2a_{2}t+3a_{3}t^{2}+\ldots =t{\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+\ldots \right)}-2t^{2}+1\,.$

Daraus kann man

${}a_{1}=1\,$

ablesen, sodann

${}a_{2}=0\,$

und daher

${}3a_{3}=1-2=-1\,,$

also

${}a_{3}=-{\frac {1}{3}}\,.$

Der Potenzreihenansatz liefert also bis zur Ordnung ${}3$ die Lösung

${}y(t)=t-{\frac {1}{3}}t^{3}\,.$

Zur gelösten Aufgabe