Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die Integralbedingung erfüllt. Dann ist

$v(t_0)=w$

und aufgrund des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung gilt  $v^{\prime }(t)=f(t,v(t))$.  Insbesondere sichert die Integralbedingung, dass $v$ differenzierbar ist.
Wenn umgekehrt $v$ eine Lösung des Anfangswertproblems ist, so ist  $v^{\prime }(s)=f(s,v(s))$  und daher

$w+{\int }_{t_0}^{t}f(s,v(s))ds=w+{\int }_{t_0}^t{v}^{\prime }(s)ds=w+v(t)-v(t_0)=v(t).$

Zur bewiesenen Aussage