Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die Integralbedingung erfüllt. Dann ist

${}v(t_{0})=w\,$

und aufgrund des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung gilt ${}v'(t)=f(t,v(t))$. Insbesondere sichert die Integralbedingung, dass ${}v$ differenzierbar ist.
Wenn umgekehrt ${}v$ eine Lösung des Anfangswertproblems ist, so ist ${}v'(s)=f(s,v(s))$ und daher

${}w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds=w+\int _{t_{0}}^{t}v'(s)\,ds=w+v(t)-v(t_{0})=v(t)\,.$

Zur bewiesenen Aussage