Differentialgleichung/Zweite Ordnung/Potenzreihenansatz/1/Aufgabe/Lösung

Wir machen den Ansatz

${}y(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+a_{4}t^{4}+\ldots \,.$

Aufgrund der Anfangsbedingung ist direkt ${}a_{0}=2$ und ${}a_{1}=5$. Die relevanten Ausdrücke links sind

${}y^{\prime \prime }=2a_{2}+6a_{3}t+12a_{4}t^{2}+\ldots \,,$

${}{\begin{aligned}e^{t}y^{\prime }&={\left(1+t+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{6}}t^{3}+{\frac {1}{24}}t^{4}+\ldots \right)}{\left(5+2a_{2}t+3a_{3}t^{2}+4a_{4}t^{3}+\ldots \right)}\\&=5+(5+2a_{2})t+({\frac {5}{2}}+2a_{2}+3a_{3})t^{2}+\ldots ,\end{aligned}}$

${}t{\left(a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}+a_{4}t^{4}+\ldots \right)}=2t+5t^{2}+a_{2}t^{3}+a_{3}t^{4}+\ldots \,,$

und deren Summe ist mit ${}3+t^{2}$ gleichzusetzen. Der Vergleich der einzelnen Koeffizienten zu den ${}t^{i}$ führt auf

${}2a_{2}+5=3\,,$

also ist

${}a_{2}=-1\,,$

auf

${}6a_{3}+5+2a_{2}+2=0\,,$

also ist

${}a_{3}=-{\frac {5}{6}}\,,$

und auf

${}12a_{4}+{\frac {5}{2}}+2a_{2}+3a_{3}+5=1\,,$

also ist

${}{\begin{aligned}12a_{4}&=-{\frac {5}{2}}-2a_{2}-3a_{3}-4\\&=-{\frac {5}{2}}+2+3{\frac {5}{6}}-4\\&=-2,\end{aligned}}$

also

${}a_{4}=-{\frac {1}{6}}\,.$

Die Potenzreihe zu ${}y$ bis zur vierten Ordnung ist also

$2+5t-t^{2}-{\frac {5}{6}}t^{3}-{\frac {1}{6}}t^{4}.$

Zur gelösten Aufgabe