Differentialgleichung/y' ist cy/Aufgabe/Kommentar

Mit der Kurzschreibweise

${}y'=cy\,$

ist

${}y'(t)=cy(t)\,$

gemeint, dies ist eine Gleichung von zwei Funktionen, und das heißt, dass für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ die Gleichheit vorliegt. Dies ist eine Bedingung an eine bekannte oder unbekannte Funktion ${}y$, die von ${}t$ abhängt. Damit die linke Seite sinnvoll ist, muss die Funktion differenzierbar sein. Wenn man sich irgendwie eine Funktion vorgibt, so kann man einfach überprüfen, ob die Gleichung erfüllt ist. Eine „zufällig“ gewählte Funktion erfüllt nahezu nie die Bedingung. Wenn man etwa

${}y(t)=\cos t\,$

nimmt, so steht links

${}{\left(\cos t\right)}'=-\sin t\,$

und das ist (egal was ${}c$ ist) nicht die rechte Seite.

Im Allgemeinen ist es schwer, eine Lösung zu finden, hier gibt es aber, wie in der Vorlesung erwähnt, die Lösung

$e^{ct}.$

Nach Fakt und der Kettenregel ist

${}{\left(e^{ct}\right)}'=ce^{ct}\,$

und das ist das ${}c$-fache der Funktion ${}e^{ct}$. Deshalb ist es eine Lösung. Der Nachweis, dass eine bestimmte Funktion die Differentialgleichung erfüllt, ist also zumeist einfach, man muss halt differenzieren können und dann die beiden Seiten vergleichen. Etwas allgemeiner als die eben hingeschriebene Lösung ist

$ae^{ct}$

mit einem ${}a\in \mathbb {R}$, aus dem gleichen Grund.

Von einem ganz anderen Schwierigkeitsgrad ist der Nachweis, dass jede Lösung einer Differentialgleichung von einer bestimmten Bauart ist.Hier gibt es einerseits Sätze, aus denen man das manchmal folgern kann, die wir aber jetzt noch nicht zur Verfügung haben. Oder man muss eben irgendwie eine Idee haben, wie man im vorliegenden Fall das direkt begründen kann. Wir behaupten, dass die Funktionen ${}ae^{ct}$ die einzigen Lösungen der vorliegenden Differentialgleichung sind. Wir müssen also zeigen, dass wenn ${}y$ eine differenzierbare Funktion ist, die die Differentialgleichung erfüllt, und von der wir sonst gar nichts wissen, dass dann schon folgt, dass sie von der Form ${}ae^{ct}$ ist.

Dazu braucht man einen Trick. Allgemein: Wenn man zeigen möchte, dass zwei Funktionen ${}f$ und ${}g$ gleich sind, ist es oft geschickt zu zeigen, dass ihre Differenz ${}f-g$ gleich ${}0$ ist oder dass ihr Quotient ${}f/g$ gleich ${}1$ ist (wenn ${}g$ nullstellenfrei ist). Hier hat man nicht zwei Funktionen, sondern eine Funktion ${}y$ und die Funktionsklasse ${}ae^{ct}$, ${}a\in \mathbb {R}$. Der Trick mit dem Quotienten klappt hier aber. Man betrachtet die Hilfsfunktion

$y(t)\cdot e^{-ct},$

das Minuszeichen im Exponenten übernimmt die Rolle der Division durch ${}e^{ct}$. Die Funktion ${}y$ ist nicht bekannt, man kann mit ihr aber alles machen, was man mit Funktionen machen darf. Da ${}y$ nach Voraussetzung differenzierbar ist, ist auch dieses Produkt differenzierbar und nach der produktregel gilt

${}{\begin{aligned}{\left(y(t)\cdot e^{-ct}\right)}'&=y'(t)\cdot e^{-ct}+y(t)\cdot {\left(e^{-ct}\right)}'\\&=y'(t)\cdot e^{-ct}-cy(t)\cdot e^{-ct}\\&=cy(t)\cdot e^{-ct}-cy(t)\cdot e^{-ct}\\&=0,\end{aligned}}$

zuletzt wurde die Voraussetzung an ${}y$ verwendet, dass es die Differentialgleichung erfüllt. Wir haben also eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung gleich ${}0$ ist. Aus dem ersten Semester wissen wir, dass dann die Funktion konstant ist. Es gibt also ein ${}a\in \mathbb {R}$ mit

${}y(t)\cdot e^{-ct}=a\,.$

Multiplikation mit ${}e^{ct}$ ergibt

${}y(t)=ae^{ct}\,.$

Zur kommentierten Aufgabe