Die Eigenwerte der Matrix sind
λ
1
=
i
,
λ
2
=
−
i
,
{\displaystyle \lambda _{1}=i,\lambda _{2}=-i,}
die zugehörigen Eigenräume sind
E
i
g
(
λ
1
)
=
s
p
a
n
{
(
i
1
)
}
,
E
i
g
(
λ
2
)
=
s
p
a
n
{
(
−
i
1
)
}
.
{\displaystyle \mathrm {Eig} (\lambda _{1})=\mathrm {span} \{{\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}}\},\mathrm {Eig} (\lambda _{2})=\mathrm {span} \{{\begin{pmatrix}-i\\1\end{pmatrix}}\}.}
(Bei reeller Matrix (und damit charakteristischem Polynom mit reellen Koeffizienten) genügt das Ausrechnen eines Eigenraumes zweier komplex konjugierter Eigenwerte, denn die zugehörigen Eigenräume bzw. deren mögliche Basisvektoren/Eigenvektoren sind auch komplex konjugiert zueinander!)
Das komplexe Fundamentalsystem lautet:
{
e
i
t
(
i
1
)
,
e
−
i
t
(
−
i
1
)
}
.
{\displaystyle \{e^{it}{\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}},e^{-it}{\begin{pmatrix}-i\\1\end{pmatrix}}\}.}
Nach Überführen in ein reelles Fundamentalsystem (nach Formel [Referenz einfügen?]) erhält man:
{
cos
(
t
)
(
0
1
)
−
sin
(
t
)
(
1
0
)
,
cos
(
t
)
(
1
0
)
+
sin
(
t
)
(
0
1
)
}
{\displaystyle \{\cos(t){\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}-\sin(t){\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\cos(t){\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+\sin(t){\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\}}
Die allgemeine Lösung lautet nun:
y
a
l
l
g
(
t
)
=
(
−
β
sin
(
t
)
+
α
cos
(
t
)
β
cos
(
t
)
+
α
sin
(
t
)
)
,
α
,
β
∈
R
{\displaystyle y_{allg}(t)={\begin{pmatrix}-\beta \sin(t)+\alpha \cos(t)\\\beta \cos(t)+\alpha \sin(t)\end{pmatrix}},\alpha ,\beta \in \mathbb {R} }
Durch
y
a
l
l
g
(
0
)
=
(
a
b
)
{\displaystyle y_{allg}(0)={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}
erhält man schließlich
a
=
α
,
b
=
β
.
{\displaystyle a=\alpha ,b=\beta .}
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