Differentialgleichungssystem/(u,v)' ist (v,u)/Allgemeine Lösung/Aufgabe/Lösung

1. Die Eigenwerte der Matrix sind ${}1$ und ${}-1$ mit den Eigenvektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$. Nach Fakt sind daher ${}{\begin{pmatrix}e^{t}\\e^{t}\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}}$ Lösungen der Differentialgleichung. Nach dem Superpositionsprinzip sind auch alle Linearkombinationen

   ${}c{\begin{pmatrix}e^{t}\\e^{t}\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}e^{-t}\\-e^{-t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ce^{t}+de^{-t}\\ce^{t}-de^{-t}\end{pmatrix}}\,$

   mit ${}c,d\in \mathbb {R}$ Lösungen und dies ist die allgemeine Lösungsschar.

2. Mit ${}a=c+d$ und ${}b=c-d$ bzw. ${}{\frac {a+b}{2}}=c$ und ${}{\frac {a-b}{2}}=d$ kann man die allgemeine Lösung als

   ${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}ce^{t}+de^{-t}\\ce^{t}-de^{-t}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\frac {a+b}{2}}e^{t}+{\frac {a-b}{2}}e^{-t}\\{\frac {a+b}{2}}e^{t}-{\frac {a-b}{2}}e^{-t}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a{\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}+b{\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\\a{\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}+b{\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a\cosh t+b\sinh t\\a\sinh t+b\cosh t\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

   schreiben.

Zur gelösten Aufgabe