Differentialgleichungssystem/Senkrecht mit skalarer Funktion/Aufgabe

Wir betrachten ein Vektorfeld

$F:{ℝ}^2⟶{ℝ}^2$

der Form

$F(x,y)=g(x,y)\left(\begin{array}{c}-y\\ x\end{array}\right)$

mit einer stetigen Funktion $g:{ℝ}^2\to ℝ$.

1. Zeige, dass für jeden Punkt $(x,y)$ der Richtungsvektor $F(x,y)$ senkrecht auf dem Ortsvektor $(x,y)$ steht.
2. Es sei $\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)$ eine Lösung der Differentialgleichung  ${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime }=F(x,y)$.  Zeige, dass $x^2(t)+y^2(t)$ konstant ist.
3. Es sei

   $z:ℝ⟶ℝ,t⟼z(t),$

   eine Lösung der Differentialgleichung

   $z^{\prime }=g(\cos z,\sin z)$

   in der einen Variablen $z$. Zeige, dass

   $\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\cos z(t)\\ \sin z(t)\end{array}\right)$

   eine Lösung der Differentialgleichung  ${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime }=F(x,y)$  ist.

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