Differentialoperator/Algebraisch/Prominente partielle Differentialgleichungen/Bemerkung

Ein Differentialoperator ${}E$ auf

${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

und ein Polynom ${}g\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gibt Anlass zur (linearen) partiellen Differentialgleichung

${}E(f)=g\,,$

wobei nach den Lösungen ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ (bzw. realistischer im Ring der hinreichend oft differenzierbaren Funktionen auf dem ${}K^{n}$, $K=\mathbb {R} ,{\mathbb {C} }$) gesucht wird. Prominente partielle Differentialgleichungen sind die Wärmeleitungsgleichung mit

${}E=\partial _{t}-\partial _{x}^{2}\,$

(in $K[t,x]$) oder die Wellengleichung

${}E=\partial _{t}^{2}-\sum _{j=1}^{n}\partial _{x_{j}}^{2}\,$

(in $K[t,x_{1},\ldots ,x_{n}]$).