Differentialoperator/Algebraisch/Prominente partielle Differentialgleichungen/Bemerkung

Ein Differentialoperator $E$ auf

$R=K[X_1,\dots ,X_n]$

und ein Polynom $g\in K[X_1,\dots ,X_n]$ gibt Anlass zur (linearen) partiellen Differentialgleichung

$E(f)=g,$

wobei nach den Lösungen $f\in K[X_1,\dots ,X_n]$ (bzw. realistischer im Ring der hinreichend oft differenzierbaren Funktionen auf dem $K^n$, $K=ℝ,ℂ$) gesucht wird. Prominente partielle Differentialgleichungen sind die Wärmeleitungsgleichung mit

$E={\partial }_t-{\partial }_x^2$

(in $K[t,x]$) oder die Wellengleichung

$E={\partial }_t^2-\sum _{j=1}^n{\partial }_{x_j}^2$

(in $K[t,x_1,\dots ,x_n]$).