Differentialoperator/R/Unendlich oft differenzierbar/Polynomial/Aufgabe

Es sei $M$ die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$ und $D$ die Ableitung, aufgefasst als Operator

$D:M⟶M,f⟼D(f)=f^{\prime }.$

Zu einem Polynom $P\in ℝ[X]$, $P=a_n{X}^n+\cdots +a_2{X}^2+a_{1}X+a_0$, betrachten wir den Operator

$P(D):M⟶M,f⟼(P(D))(f)=a_n{D}^n(f)+\cdots +a_2{D}^2(f)+a_{1}D(f)+a_{0}f.$

Berechne $(P(D))(f)$ für $P=2X^3-4X^2+7X-3$ und $f=x^4,e^x,e^{2x},\sin x$. Zeige, dass $P(D)$ eine lineare Abbildung auf $M$ ist.

Eine Lösung erstellen