Es sei M {\displaystyle {}M} die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von R {\displaystyle {}\mathbb {R} } nach R {\displaystyle {}\mathbb {R} } und D {\displaystyle {}D} die Ableitung, aufgefasst als Operator
Zu einem Polynom P ∈ R [ X ] {\displaystyle {}P\in \mathbb {R} [X]} , P = a n X n + ⋯ + a 2 X 2 + a 1 X + a 0 {\displaystyle {}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{2}X^{2}+a_{1}X+a_{0}} , betrachten wir den Operator
Berechne ( P ( D ) ) ( f ) {\displaystyle {}(P(D))(f)} für P = 2 X 3 − 4 X 2 + 7 X − 3 {\displaystyle {}P=2X^{3}-4X^{2}+7X-3} und f = x 4 , e x , e 2 x , sin x {\displaystyle {}f=x^{4},e^{x},e^{2x},\sin x} . Zeige, dass P ( D ) {\displaystyle {}P(D)} eine lineare Abbildung auf M {\displaystyle {}M} ist.
die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von 
nach und 
die Ableitung, aufgefasst als Operator
![{\displaystyle {}P\in \mathbb {R} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf6bcf64e16c3ac6b30ecd6577e72648ab2325a)
, 
, betrachten wir den Operator
für 
und 
. Zeige, dass 
eine lineare Abbildung auf ist.
