Differentialoperatoren/Hauptteilring/Ableitungsbeschreibung/Hyperfläche/Fakt/Beweis

Beweis

Wir arbeiten mit der Beschreibung

${}{\begin{aligned}R\otimes _{K}R&=K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F)\otimes _{K}K[X_{1},\ldots ,X_{k}]/(F)\\&=K[X_{1},\ldots ,X_{k},{\tilde {X}}_{1},\ldots ,{\tilde {X}}_{k}]/(F,{\tilde {F}}),\end{aligned}}$

wobei ${}{\tilde {F}}$ aus ${}F$ entsteht, indem man ${}X_{i}$ durch ${}{\tilde {X}}_{i}$ ersetzt. Wir setzen

${}A_{i}={\tilde {X_{i}}}-X_{i}\,$

an und schreiben den Ring als

$K[X_{1},\ldots ,X_{k},A_{1},\ldots ,A_{k}]/(F,G),$

wobei

${}G={\tilde {F}}=F(X_{1}+A_{1},\ldots ,X_{k}+A_{k})\,$

ist. Betrachte ein Monom ${}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}}$ aus ${}F$. In die Gleichung ${}G$ für die Algebra der Hauptteile geht dies in der Form

$(X_{1}+A_{1})^{\nu _{1}}\cdots (X_{k}+A_{k})^{\nu _{k}}$

ein. Ausmultiplizieren ergibt

$\sum _{\lambda \leq \nu }{\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}A_{1}^{\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}A_{k}^{\lambda _{k}}.$

Auf das Taylormonom ${}A^{\lambda }$ bezieht sich also der Term

${\binom {\nu _{1}}{\lambda _{1}}}\cdots {\binom {\nu _{k}}{\lambda _{k}}}X_{1}^{\nu _{1}-\lambda _{1}}\cdots X_{k}^{\nu _{k}-\lambda _{k}}.$

Dies stimmt mit

${\frac {1}{\lambda !}}D^{\lambda }(X^{\nu })$

überein.

Zur bewiesenen Aussage