Differenzen/Vier Elemente/Klammerungen/Aufgabe/Lösung

1. Die Klammerungsmöglichkeiten sind

   $(a-b)-(c-d),\,\,(a-(b-c))-d,\,\,a-((b-c)-d),\,\,a-(b-(c-d)),\,\,((a-b)-c)-d.$

2. Den Term ${}a-b-c-d$ baut man von links nach rechts ab, er bedeutet also ${}((a-b)-c)-d$.
3. Verlockend ist wohl eine Klammerung, bei der schnell viel wegfällt, also

   ${}3-3-3-3=(3-3)-(3-3)=0-0=0\,.$

4. Es ist

   ${}(a-b)-(c-d)=a+(-b)+(-c)+d\,,$

   ${}(a-(b-c))-d=a+(-b)+c+(-d)\,,$

   ${}a-((b-c)-d)=a+(-b)+c+d\,,$

   ${}a-(b-(c-d))=a+(-b)+c+(-d)\,,$

   ${}((a-b)-c)-d=a+(-b)+(-c)+(-d)\,.$

5. Aus der Darstellung unter (4) kann man sehen, dass die zweite und die vierte Klammerung stets zum gleichen Ergebnis führen. Wir behaupten, dass ansonsten die Ergebnisse auseinanderfallen können. Es sei dazu ${}a=b=0$, ${}c=1$ und ${}d=2$. Dann ergeben sich der Reihe nach die Ergebnisse

   $1,\,-1,\,3,\,(-1),\,-3.$

Zur gelösten Aufgabe