Differenzierbare Fläche/Ellipsoidoberfläche/Weingartenabbildung/Diagonalmatrix/Aufgabe/Lösung

Das normierte Gradientenfeld ist

${}{\begin{aligned}N(x,y,z)&={\frac {1}{\sqrt {4x^{2}+4y^{2}+16z^{2}}}}{\begin{pmatrix}2x\\2y\\4z\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+4z^{2}}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\2z\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Wir arbeiten mit dem Einheitsnormalenfeld

${}M(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\2z\end{pmatrix}}\,,$

was auf ${}Y$ mit ${}N$ übereinstimmt. Das totale Differential von ${}M$ ist

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}&0&{\frac {-2xz}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {4+2z^{2}}}}&{\frac {-2yz}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\\0&0&{\frac {8}{{\left(4+2z^{2}\right)}^{3/2}}}\end{pmatrix}}.$

Im angegebenen Punkt ${}P$ ist der Gradient ${}{\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}}$ und die beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}$ ist eine Basis des Tangetialraumes ${}T_{P}Y$. Das totale Differential zu ${}M$ ist in diesem Punkt gleich

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}&0&{\frac {-1}{3{\sqrt {6}}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {-1}{3{\sqrt {6}}}}\\0&0&{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}.$

Angewendet auf den ersten Basisvektor ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ ergibt sich ${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\0\end{pmatrix}}$, dies ist also ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}{\frac {1}{\sqrt {6}}}$. Angewendet auf den zweiten Basisvektor ${}{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}$ ergibt sich

${}{\begin{pmatrix}{\frac {7}{3{\sqrt {6}}}}\\{\frac {1}{3{\sqrt {6}}}}\\-{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}=-{\frac {1}{3{\sqrt {6}}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}}\,.$

Daher ist der andere Eigenwert gleich ${}{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}$ und eine beschreibende Diagonalmatrix ist

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {6}}}&0\\0&{\frac {4}{3{\sqrt {6}}}}\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe