Differenzierbare Funktion/Quetschkriterium/Aufgabe/Lösung

Zunächst ist  ${}f(a)=g(a)=h(a)=:b$.  Für die Differenzenquotienten zu einem Punkt  ${}x\neq a$  gilt

${}{\frac {g(x)-b}{x-a}}\leq {\frac {f(x)-b}{x-a}}\leq {\frac {h(x)-b}{x-a}}\,$

für  ${}x>a$  und

${}{\frac {g(x)-b}{x-a}}\geq {\frac {f(x)-b}{x-a}}\geq {\frac {h(x)-b}{x-a}}\,$

für  ${}x<a$.  Für eine Folge ${}x_{n}$, die gegen ${}a$ konvergiert, konvergieren wegen der Differenzierbarkeit von ${}g$ bzw. ${}h$ die äußeren Differentialquotienten ${}{\frac {g(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ bzw. ${}{\frac {h(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ gegen  ${}g'(a)=h'(a)$.  Aufgrund de Quetschkriteriums, angewendet auf die Teilfolge mit  ${}x_{n}>a$  bzw. die Teilfolge mit  ${}x_{n}<a$  zeigt, dass auch die Folge der mittleren Differenzenquotienten ${}{\frac {f(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ gegen  ${}g'(x)=h'(x)$ 

konvergiert.

Zur gelösten Aufgabe