Differenzierbare Funktionen/K/Produktregel/Funktionslimes/Aufgabe/Lösung

Es seien $f,g:D\to 𝕂$ Funktionen, die beide in  $a\in D$  differenzierbar seien. Der Differenzenquotient der Produktfunktion $f(x)g(x)$ ist $\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}$ und es ist zu zeigen, dass davon der Limes für $x$ gegen $a$ existiert und gleich $f^{\prime }(a)g(a)+f(a)g^{\prime }(a)$ ist. Es ist

$\begin{array}{cc}\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}& =\frac{f(x)g(x)-f(x)g(a)+f(x)g(a)-f(a)g(a)}{x-a}\\ & =\frac{f(x)(g(x)-g(a))+g(a)(f(x)-f(a))}{x-a}\\ & =f(x)\frac{g(x)-g(a)}{x-a}+g(a)\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\end{array}$

Der Limes der Brüche existiert nach Voraussetzung und ist gleich $g^{\prime }(a)$ bzw. $f^{\prime }(a)$.

Wegen der Stetigkeit von $f$ im Punkt $a$ ist der Limes von $f(x)$ für $x$ gegen $a$ gleich $f(a)$. Daher folgt die Behauptung aus den Rechenregeln für Limiten.

Zur gelösten Aufgabe