Differenzierbare Funktionen/R/Produktregel/Funktionslimes/Aufgabe/Lösung

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Es seien Funktionen, die beide in differenzierbar seien. Der Differenzenquotient der Produktfunktion ist und es ist zu zeigen, dass davon der Limes für gegen existiert und gleich ist. Es ist

Der Limes der Brüche existiert nach Voraussetzung und ist gleich bzw. .

Wegen der Stetigkeit von im Punkt ist der Limes von für gegen gleich . Daher folgt die Behauptung aus den Rechenregeln für Limiten.