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Differenzierbare Kurve/Motivation/Einführung/Textabschnitt

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Eine Animation des Graphen der trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises. Die grünen Punkte sind Punkte des Graphen.


Es sei ein reelles Intervall, ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

eine Abbildung. Eine solche Abbildung nennen wir auch eine Kurve oder einen Weg in . Häufig stellt man sich dabei als ein Zeitintervall und die Abbildung als einen Bewegungsprozess im Raum vor. Jedem Zeitpunkt wird also ein Ortspunkt zugeordnet. Es gibt mehrere Möglichkeiten, sich eine solche Abbildung zu veranschaulichen. Bei eindimensionalem , also , ist der Graph die übliche Darstellungsweise. Einen Graphen gibt es bekanntlich zu jeder Abbildung. Bei ist der Graph eine Teilmenge von . Häufig skizziert man bei einer Kurve bei oder nur das Bild (man spricht auch von der Bahn oder der Spur der Kurve) der Kurve. Man beachte aber, dass das Bild nur eine Teilinformation der Abbildung aufzeigt.

Bei einem Bewegungsprozess interessiert man sich natürlich für die „Geschwindigkeit“ zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei versteht man unter Geschwindigkeit nicht nur deren Betrag (oder Norm), sondern auch deren Richtung (die Sprechweisen sind uneinheitlich).

Eine gleichmäßige Bewegung auf einem Kreis mit Mittelpunkt und Radius , bei der eine volle Kreisumdrehung die Zeit benötigt, die zum Zeitpunkt im Punkt startet und gegen den Uhrzeigersinn verläuft, wird durch

beschrieben. Der Geschwindigkeitsvektor der Kreisbewegung ist zu jedem Zeitpunkt tangential an den Ortspunkt auf dem Kreis (und steht senkrecht zum Ortsvektor). Die Norm der Geschwindigkeit ist bei einer Kreisbewegung konstant, aber die Richtung ändert sich kontinuierlich.

Die Vorstellung der Momentangeschwindigkeit wird durch den Begriff der differenzierbaren Kurve und ihrer Ableitung präzisiert, der eine direkte Verallgemeinerung von differenzierbaren Funktionen ist. Die Idee ist wieder, zu zwei Zeitpunkten den Durchschnittsgeschwindigkeitsvektor (die wir den Differenzenquotienten nennen)

zu betrachten und davon den Limes für zu bestimmen.