Differenzierbarkeit/Anwendung der C-R DGL/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} },$

die in reellen Koordinaten durch ${}(x,y)\mapsto (x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4},4x^{3}y-4xy^{3})=(g,h)$ gegeben ist. Diese ist offenbar reell-differenzierbar mit der Matrix

${\begin{pmatrix}4x^{3}-12xy^{2}&-12x^{2}y+4y^{3}\\12x^{2}y-4y^{3}&4x^{3}-12xy^{2}\end{pmatrix}}.$

Damit erfüllt die Abbildung die Cauchy-Riemann Differentialgleichung und ist somit komplex-differenzierbar. In der Tat ist die Abbildung ${}\varphi$ grade die Abbildung

$z\longmapsto z^{4}=(x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4},4x^{3}y-4xy^{3}).$

Das komplexe Differential ist also ${}4z^{3}$. Diese komplex-lineare Abbildung schickt

$1\longmapsto 4z^{3}=4(x^{3}-3xy^{2}+(3x^{2}y-y^{3})i)$

und

$i\longmapsto 4iz^{3}=4((x^{3}-3xy^{2})i-(3x^{2}y-y^{3})).$

Diese beiden Vektoren bilden die Spalten der zugehörigen reellen Matrix.