Differenzierbarkeit/C-R DGL beide Räume komplex eindimensional/Bemerkung

Es sei nun auch $V=ℂ$ mit Koordinaten $z=x+iy$. Dann ist $\phi (z)=g(z)+ih(z)$ komplex-differenzierbar falls

$(\frac{\partial g}{\partial y})(P)=-(\frac{\partial h}{\partial x})(P)\text{ und }(\frac{\partial h}{\partial y})(P)=(\frac{\partial g}{\partial x})(P).$

Das bedeutet für das reelle totale Differential (gegeben durch die $2\times 2$-Matrix)

$\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial g}{\partial x}& \frac{\partial g}{\partial y}\\ \frac{\partial h}{\partial x}& \frac{\partial h}{\partial y}\end{array}\right),$

dass die Einträge auf der Diagonalen übereinstimmen und auf der Antidiagonalen negativ zueinander sind.