Differenzierbarkeit/C-R DGL beide Räume komplex eindimensional/Bemerkung

Es sei nun auch ${}V={\mathbb {C} }$ mit Koordinaten ${}z=x+iy$. Dann ist ${}\varphi (z)=g(z)+ih(z)$ komplex-differenzierbar falls

$({\frac {\partial g}{\partial y}})(P)=-({\frac {\partial h}{\partial x}})(P){\text{ und }}({\frac {\partial h}{\partial y}})(P)=({\frac {\partial g}{\partial x}})(P).$

Das bedeutet für das reelle totale Differential (gegeben durch die ${}2\times 2$-Matrix)

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial g}{\partial y}}\\{\frac {\partial h}{\partial x}}&{\frac {\partial h}{\partial y}}\end{pmatrix}},$

dass die Einträge auf der Diagonalen übereinstimmen und auf der Antidiagonalen negativ zueinander sind.