Differenzierbarkeit/Dritte Wurzel aus x^2/Aufgabe/Lösung

Die Funktion $x\mapsto x^3$ ist überall differenzierbar und die Ableitung ist nur an der Stelle $x=0$ gleich $0$. Daher ist die Umkehrfunktion $y\mapsto \sqrt[3]{y}$ für $y\ne 0$ differenzierbar. Daher ist auch $f$ als Hintereinanderschaltung von $x\mapsto x^2$ und dieser Funktion für $x\ne 0$ differenzierbar.

Für  $x=0$  betrachten wir direkt den Differenzenquotienten, also für  $h\ne 0$  den Ausdruck

$\frac{\sqrt[3]{h^2}}{h}.$

Wir betrachten positive $h$ und können den Nenner als

$h=\sqrt[3]{h^3}=\sqrt[3]{h^2}\cdot \sqrt[3]{h}$

schreiben. Daher ist der Differenzenquotient gleich

$\frac{\sqrt[3]{h^2}}{h}=\frac{\sqrt[3]{h^2}}{\sqrt[3]{h^2}\cdot \sqrt[3]{h}}=\frac{1}{\sqrt[3]{h}}=\sqrt[3]{\frac{1}{h}}.$

Für  $h_n=\frac{1}{n}$ 

steht hier $\sqrt[3]{n}$ und dies divergiert, also existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist $f$ in $0$ nicht differenzierbar.

Zur gelösten Aufgabe