Differenzierbarkeit/Dritte Wurzel aus x^2/Aufgabe/Lösung

Die Funktion ${}x\mapsto x^{3}$ ist überall differenzierbar und die Ableitung ist nur an der Stelle ${}x=0$ gleich ${}0$. Daher ist die Umkehrfunktion ${}y\mapsto {\sqrt[{3}]{y}}$ für ${}y\neq 0$ differenzierbar. Daher ist auch ${}f$ als Hintereinanderschaltung von ${}x\mapsto x^{2}$ und dieser Funktion für ${}x\neq 0$ differenzierbar.

Für ${}x=0$ betrachten wir direkt den Differenzenquotient, also für ${}h\neq 0$ den Ausdruck

${\frac {\sqrt[{3}]{h^{2}}}{h}}.$

Wir betrachten positive ${}h$ und können den Nenner als

${}h={\sqrt[{3}]{h^{3}}}={\sqrt[{3}]{h^{2}}}\cdot {\sqrt[{3}]{h}}\,$

schreiben. Daher ist der Differenzenquotient gleich

${}{\frac {\sqrt[{3}]{h^{2}}}{h}}={\frac {\sqrt[{3}]{h^{2}}}{{\sqrt[{3}]{h^{2}}}\cdot {\sqrt[{3}]{h}}}}={\frac {1}{\sqrt[{3}]{h}}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{h}}}\,.$

Für ${}h_{n}={\frac {1}{n}}$ steht hier ${}{\sqrt[{3}]{n}}$ und dies divergiert, also existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist ${}f$ in ${}0$ nicht differenzierbar.

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