Differenzierbarkeit/K/Eindeutige Approximation/Fakt/Beweis

Beweis

Angenommen, es gelte

${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L_{1}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{1}(v)\,$

und

${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L_{2}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{2}(v)\,$

mit linearen Abbildungen ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ und mit im Punkt ${}0$ stetigen Funktionen ${}r_{1},r_{2}\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ mit  ${}r_{1}(0)=r_{2}(0)=0$.  Wir müssen  ${}L_{1}=L_{2}$  zeigen. Dazu ziehen wir die beiden Gleichungen voneinander ab (da es sich hier um Gleichungen von Funktionswerten im Vektorraum ${}W$ handelt, ist hier werteweises Abziehen gemeint) und erhalten die Gleichung

${}0=(L_{1}-L_{2})(v)+\Vert {v}\Vert \cdot (r_{1}(v)-r_{2}(v))\,.$

Daher müssen wir zeigen, dass die (konstante) Nullabbildung die Eigenschaft besitzt, dass die lineare Abbildung ${}0$ ihre einzige lineare Approximation ist.  Wir nehmen daher an, dass

${}0=L(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)\,$

gilt, wobei ${}L$ linear und ${}r$ eine in ${}0$ stetige Funktion mit  ${}r(0)=0$  ist. Wenn ${}L$ nicht die Nullabbildung ist, so gibt es einen Vektor  ${}v\in V$  mit  ${}L(v)=w\neq 0$.  Dann gilt für  ${}s\in {\mathbb {K} }$ 

${}0=L(sv)+\Vert {sv}\Vert r(sv)=sw+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\,.$

Dies impliziert, dass  ${}r(sv)=-{\frac {sw}{\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert }}$  für  ${}s\neq 0$  gilt. Die Norm von ${}r(sv)$ ist daher konstant gleich  ${}{\frac {\Vert {w}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}\neq 0$.  Also gilt  ${}\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,\Vert {r(sv)}\Vert \neq 0$,  ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage