Diffusion/Zwischenspeicher :)

Modellierung mit Tabellenkalkulation

Die Modellierung stellt dar, wie viel Kohlenstoffmonoxid von Autos in der Stadt Landau (Pfalz) ausgestoßen wird und wie sich dieser Stoff mit der Zeit (im Stundentakt und bei Windstille) verteilt.

Einteilung der Stadtkarte

Um die Diffusion von Kohlenstoffmonoxid in Landau in einer Tabellenkalkulation implementieren zu können, wurde zunächst ein 20x20 Raster auf die Stadtkarte gezeichnet, das die Stadt in 400 Felder einteilt (siehe Abbildung). Durch die Beschriftung der Spalten mit Großbuchstaben und der Zeilen mit Zahlen, hat jedes Feld eine eigene Benennung (z.B. befindet sich der Hauptbahnhof in der Zelle N11).

Berechnung der Emission pro Feld und pro Stunde

Benötigte Werte

Straßenbreite und -längen

Wie viel Kohlenstoffmonoxid in einem Feld ausgestoßen wird, hängt von den Straßen ab, die sich in diesem Feld befinden. Die Stadtkarte unterscheidet zwischen breiten, mittleren und schmalen Straßen. Diese Unterscheidung wird in der Modellierung berücksichtigt, da wir davon ausgehen, dass mehr Autos auf einer breiten Straße fahren als auf einer schmalen. Außerdem gilt es zu berücksichtigen, wie lang die Straßen in einem Feld sind. Deshalb wurde für jedes Feld der Stadtkarte ausgemessen, wie viel mm breite, mittlere und schmale Straße es beinhaltet. Die Messungen (in mm) wurden anschließend in der ersten Tabelle der Modellierung eingetragen.

Screenshot

In der zweiten Tabelle werden die Messungen mit Hilfe des Maßstabs in die realen Straßenlängen (in m) umgerechnet. Mit diesen Werten wird weitergearbeitet.

Screenshot

Anzahl der Autos pro Stunde

Für die Ermittlung dieser Werte wurde eine Datenerhebung (einstündige Verkehrszählung) an der Kreuzung Hainbachstraße & August-Croissant-Straße durchgeführt. Diese Kreuzung wurde gewählt, um mit nur einer Verkehrzählung zu ermitteln, wie viele Autos auf einer großen Straße (Hainbachstraße) und wie viele auf einer mittleren Straße (August-Croissant Straße) fahren.

Tabelle einfügen (Ohne Anzahl LKWs/Busse)

Die Anzahl der Autos, die abgebogen sind, werden in der Modellierung halb zur breiten und halb zur mittleren Straße gezählt.

Faktorisierung für das Verkehraufkommen

Eine mittlere Straße, die eine Sackgasse ist oder die sich in einem Wohngebiet befindet, hat weniger Verkehrsaufkommen als die August-Croissant-Straße, die zum Abkürzen genutzt werden kann. Anhand solcher Kriterien werden (in Tabelle 3) für jedes Feld Faktorisierungen geschätzt, die das Verkehrsaufkommen in Abhängigkeit zu den „gezählten Straßen“ (Hainbachstraße und August-Croissant Straße) beschreiben.

Emission pro Auto und pro Meter

Formel

Seien

1. $F$ das Feld
2. $E_{PKW}$ das Kohlenmonoxid in $m^{3}$, das ein Auto durchschnittlich pro Meter ausstößt
3. $SB_{F}$ die Länge der breiten Straßen, die sich im Feld $F$ befinden
4. $SM_{F}$ die Länge der mittleren Straßen, die sich im Feld $F$ befinden
5. $SS_{F}$ die Länge der schmalen Straßen, die sich im Feld $F$ befinden
6. $AB$ die Anzahl der Autos, die pro Stunde auf einer breiten Straße fahren
7. $AM$ die Anzahl der Autos, die pro Stunde auf einer mittleren Straße fahren
8. $AS$ die Anzahl der Autos, die pro Stunde auf einer schmalen Straße fahren
9. $FB_{F}$ die Faktorisierung für das Verkehrsaufkommen auf den breiten Straßen im Feld $F$
10. $FM_{F}$ die Faktorisierung für das Verkehrsaufkommen auf den mittleren Straßen im Feld $F$
11. $FS_{F}$ die Faktorisierung für das Verkehrsaufkommen auf den schmalen Straßen im Feld $F$

Die stündliche Emission von Kohlenmonoxid in einem Feld F lässt sich folgendermaßen berechnen:

Formatierung Kasten: $E_{PKW}*(SB_{F}*AB*FB_{F}+SM_{F}*AM*FM_{F}+SS_{F}*AS*FS_{F})$

Die „Emissionsmatrix“

Diese Formel auf jedes Feld angewendet ergibt eine $20\times 20$-Matrix, die die stündliche Emission in der gesamten Stadt beschreibt.

Screenshot

Durch die bedingte Formatierung ist sofort zu erkennen, an welchen Stellen viel CO ausgestoßen wird und an welchen Stellen weniger.

Formal

$E={\begin{pmatrix}e_{1,1}&\dots &e_{1,20}\\\vdots &&\vdots \\e_{20,1}&\dots &e_{20,20}\end{pmatrix}}$

Diffusion

Die Modellierung zeigt im Stundentakt, wie sich das CO innerhalb der Stadt verbreitet. Für jeden Zeitpunkt $t$ wird eine Tabelle angelegt, in der eine Matrix $M_{t}\in (22\times 22,\mathbb {R} )$ das CO-Aufkommen zu diesem Zeitpunkt beschreibt. Die zusätzlichen Zeilen und Spalten werden gebraucht, um einen Rand mit Nullen zu definieren. Diese Randbedingung sorgt dafür, dass das CO sich frei in die Umgebung verteilt und dass von außerhalb der Stadt kein CO rein kommt.

Die Verteilungsmatrix

Zuerst wurde eine $3\times 3$-Verteilungsmatrix definiert, die wie folgt aussieht:

Screenshot

Formal

$V={\begin{pmatrix}{\sqrt {0,001}}&0,001&{\sqrt {0,001}}\\0,001&0,98455088&0,001\\{\sqrt {0,001}}&0,001&{\sqrt {0,001}}\end{pmatrix}}$

Wir nehmen also an, dass nach einer Stunde ein Anteil von 0,001 in ein direkt benachbartes Feld diffundiert. In die indirekt benachbarten Felder diffundiert jeweils ein Anteil von ${\sqrt {0,001}}$. Hierbei handelt es sich allerdings nur um geschätzte Werte. In der nächsten Optimierung des Modells könnte eruiert werden, welche Verteilung realistisch wäre.

Besonderheit:

Die Verteilungsmatrix berücksichtigt, dass sich CO auch in der Höhe ausbreitet. Da uns nur das Abgasaufkommen in dem Raum interessiert, in dem sich Menschen bewegen, betrachten wir nur den Stoff, der sich nicht höher als 10m befindet. Deshalb verschwindet jede Stunde ein Anteil (der Anteil, der die 10m Höhe überschreitet).

Diffusion nach 1h

Wir nehmen an, dass es zum Zeitpunkt 0 kein Abgasaufkommen in der Stadt gibt. Dementsprechend ist das Aufkommen von CO nach einer Stunde dasselbe wie in der Emissionsmatrix.

Screenshot

Formal

$M_{1}={\begin{pmatrix}m_{1,1}&\dots &m_{1,22}\\\vdots &&\vdots \\m_{22,1}&\dots &m_{22,22}\end{pmatrix}}$

1. Die Komponenten am Rand $m_{1,r}$, $m_{22,r}$, $m_{r,1}$ und $m_{r,22}$ mit $r=1,2,...,22$ haben wegen der Randbedingung den Wert $0$
2. Für die inneren Komponenten $m_{z,s}$ mit $z,s\in \{2,3,\dots ,21\}$ gilt: $m_{z,s}=e_{z-1,s-1}$, wobei $e_{z-1,s-1}\in E$ (Emissionsmatrix)

Diffusion nach weiteren Stunden

Auch jede folgende Matrix $M_{t}\in Mat(22\times 22,\mathbb {R} )$ mit $t\in \{2,3,\dots ,12\}$ und

$M_{t}={\begin{pmatrix}m_{1,1,t}&\dots &m_{1,22,t}\\\vdots &&\vdots \\m_{22,1,t}&\dots &m_{22,22,t}\end{pmatrix}}$

haben Nullen als Randkomponenten.

Zur Berechnung der inneren Komponenten $m_{z,s,t}$ mit

$E={\begin{pmatrix}e_{1,1}&\dots &e_{1,20}\\\vdots &&\vdots \\e_{20,1}&\dots &e_{20,20}\end{pmatrix}}$

$V={\begin{pmatrix}{\sqrt {0,001}}&0,001&{\sqrt {0,001}}\\0,001&0,98455088&0,001\\{\sqrt {0,001}}&0,001&{\sqrt {0,001}}\end{pmatrix}}$