Beweis
Zunächst kann nicht gerade sein, denn dann wäre auch
gerade und die beiden Seiten der Gleichung liefern widersprüchliche Bedingungen an den Exponenten für die .
Wir schreiben in die Gleichung als
-
Die beiden Faktoren rechts erzeugen das Einheitsideal. Aus der Annahme
-
folgt
,
was wegen ungerade einen Widerspruch darstellt. Die beiden Faktoren sind also teilerfremd. Da faktoriell ist, müssen sich die Primfaktoren von in der dritten Potenz auf die einzelnen Faktoren aufteilen. D.h. die Faktoren sind selbst dritte Potenzen. Da es nur die trivialen Einheiten gibt, ist also
mit
.
Dies ergibt die beiden Bedingungen
-
und
-
Aus der letzten Gleichung ergibt sich
und
.
Somit ist
.