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Diophantische Gleichung/Bachet/Fakt/Beweis

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Beweis

Zunächst kann nicht gerade sein, denn dann wäre auch gerade und die beiden Seiten der Gleichung liefern widersprüchliche Bedingungen an den Exponenten für die .

Wir schreiben in die Gleichung als

Die beiden Faktoren rechts erzeugen das Einheitsideal. Aus der Annahme

folgt , was wegen ungerade einen Widerspruch darstellt. Die beiden Faktoren sind also teilerfremd. Da faktoriell ist, müssen sich die Primfaktoren von in der dritten Potenz auf die einzelnen Faktoren aufteilen. D.h. die Faktoren sind selbst dritte Potenzen. Da es nur die trivialen Einheiten gibt, ist also mit . Dies ergibt die beiden Bedingungen

und

Aus der letzten Gleichung ergibt sich und . Somit ist .