Diophantische Gleichung/Kubiksumme/Quadrat/Textabschnitt

Wir betrachten die Gleichung

${}X^{3}+Y^{3}=Z^{2}\,.$

Als ganzzahlige Lösungen fallen einem ${}(0,1,1),\,(1,2,3)$ und ${}(2,2,4)$ sofort ein. Ferner erhält man mit jeder Lösung ${}(x,y,z)$ neue Lösungen ${}(u^{2}x,u^{2}y,u^{3}z)$. Man wird also vor allem nach Lösungen mit teilerfremden ${}x,y$ suchen. Eine nicht unmittelbar naheliegende ganzzahlige, aber nicht positive Lösung ist ${}(-7,8,13)$, es ist ja

${}(-7)^{3}+8^{3}=-343+512=169=13^{2}\,,$

oder ${}(-104,105,181)$. Da wir nach ganzzahligen Lösungen suchen, ist die Gleichung äquivalent zu

${}X^{3}-Y^{3}=Z^{2}\,.$

Im Ring der Eisensteinzahlen ist

${}(x-y)(x-\eta y)(x-\eta ^{2}y)=z^{2}\,.$

Bei  ${}x-y=1$,  also  ${}x=y+1$,  gelangt man zur Bedingung

${}{\left(y+1-\eta y\right)}{\left(y+1-\eta ^{2}y\right)}=z^{2}\,.$

Die Differenz der beiden Faktoren ist ${}(\eta ^{2}-\eta )y$. Daraus folgt, dass die Faktoren teilerfremd sind, und daraus folgt

${}y+1-\eta y=(a+b\eta )^{2}=a^{2}+b^{2}\eta ^{2}+2ab\eta =a^{2}-b^{2}+(2ab-b^{2})\eta \,.$

Dies ergibt das Gleichungssystem

${}y+1=a^{2}-b^{2}\,$

und

${}-y=2ab-b^{2}\,,$

was aufaddiert auf die Gleichung

${}a^{2}+2ab-2b^{2}=1\,$

bzw.

${}(a+b)^{2}-3b^{2}=1\,$

führt. Mit

${}c=a+b\,$

ist

${}c^{2}-3b^{2}=1\,$

eine Pellsche Gleichung, und zwar die (positive) Einheitenbedingung im quadratischen Zahlbereich zu ${}{\sqrt {3}}$. Die Fundamentaleinheit ist ${}2+{\sqrt {3}}$.

Einheit	${}a$	${}b$	${}c$	${}x$	${}y$	${}z$
${}2+{\sqrt {3}}$	${}1$	${}1$	${}2$	${}0$	${}-1$	${}1$

Einheit	${}a$	${}b$	${}c$	${}x$	${}y$	${}z$
${}2-{\sqrt {3}}$	${}3$	${}-1$	${}2$	${}8$	${}7$	${}13$

Einheit	${}a$	${}b$	${}c$	${}x$	${}y$	${}z$
${}7+4{\sqrt {3}}$	${}3$	${}4$	${}7$	${}-7$	${}-8$	${}13$

Einheit	${}a$	${}b$	${}c$	${}x$	${}y$	${}z$
${}7-4{\sqrt {3}}$	${}11$	${}-4$	${}7$	${}105$	${}104$	${}181$