Direktes Produkt/Eigenvektoren/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten den Vektor

$w=(0,\ldots ,0,v_{k},0,\ldots ,0)\in V_{1}\times \cdots \times V_{k-1}\times V_{k}\times V_{k+1}\times \cdots \times V_{n}.$

Wegen

${}v_{k}\neq 0\,$

ist dieser Vektor nicht ${}0$. Es ist

${}{\begin{aligned}(\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n})(w)&=(\varphi _{1}(0),\ldots ,\varphi _{k-1}(0),\varphi _{k}(v_{k}),\varphi _{k+1}(0),\ldots ,\varphi _{n}(0))\\&=(0,\ldots ,0,av_{k},0,\ldots ,0)\\&=a(0,\ldots ,0,v_{k},0,\ldots ,0),\end{aligned}}$

also liegt ein Eigenvektor von ${}\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}$ zum Eigenwert ${}a$ vor.

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