Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe/Lösung

1. Eine Menge ${}R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

   $+:R\times R\longrightarrow R{\text{ und }}\cdot :R\times R\longrightarrow R$

   und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente ${}0,1\in R$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

   1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
      2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in R$ gilt ${}a+b=b+a$.
      3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a+0=a$.
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in R$ gibt es ein Element ${}b\in R$ mit ${}a+b=0$.
   2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
      2. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in R$ ist ${}a\cdot 1=1\cdot a=a$.
   3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in R$ gilt  ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$  und  ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$. 
2. Die Relation  ${}R\subseteq M\times N$  heißt rechtseindeutig, wenn es zu jedem  ${}x\in M$  maximal ein  ${}y\in N$  mit  ${}(x,y)\in R$  gibt.
3. Eine Abbildung

   $\psi \colon G\longrightarrow H$

   heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

   ${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

   für alle  ${}g,g'\in G$  gilt.

4. Ein Untergraph  ${}(W,F)\subseteq (V,E)$  heißt voll, wenn jede Kante aus ${}E$, die Punkte aus ${}W$ verbindet, auch eine Kante in ${}F$ ist.
5. Unter der Länge eines Weges versteht man die Anzahl seiner Kanten.
6. Unter der Gradmatrix zu ${}G$ verstehen wir die ${}V\times V$-Diagonalmatrix, deren Diagonaleintrag an der Stelle ${}(v,v)$ durch den Grad im Knotenpunkt ${}v$ gegeben ist.

Zur gelösten Aufgabe